Impossível é um quadrado ser redondo.

Afirma que algo é logicamente impossível ou intrinsecamente contraditório — não se pode conciliar duas qualidades mutuamente exclusivas.

Versão neutra

Não se pode ter ao mesmo tempo duas características que se excluem mutuamente.

Quando devo usar este provérbio?
Use-o para sublinhar que uma proposta, pedido ou expectativa conflita com princípios básicos ou características essenciais, tornando-a impraticável sem mudança de requisitos.
É apropriado em contextos formais?
Pode ser percebido como demasiado categórico ou coloquial em contextos formais. Em ambientes profissionais, é preferível explicar as razões técnicas ou apresentar alternativas.
Há situações em que algo inicialmente impossível se torna possível?
Sim. O desenvolvimento técnico, compromisso de partes ou alteração de pressupostos podem transformar o que parecia impossível. Por isso é útil investigar causas e alternativas antes de encerrar a discussão.

Usado em conversas e argumentos para rejeitar propostas ou expectativas que conflitam com a natureza das coisas.
Tom frequentemente categórico; pode soar brusco em contextos delicados.
Mais comum em registo informal e coloquial do que em contextos formais ou técnicos.
Pode ser empregado de forma metafórica, não necessariamente referindo-se a formas geométricas reais.

Dizes que queres reduzir o preço e simultaneamente aumentar o lucro por unidade? Impossível é um quadrado ser redondo.
Se a função exige horários fixos, não podes esperar flexibilidade total — é como dizer que um quadrado é redondo.
O candidato quer experiência e deseja também começar no nível mais baixo; neste caso, é impossível: um quadrado não é redondo.

Em muitas situações, o que parece impossível pode ser atenuado por compromisso, inovação ou mudança de requisitos; nem todas as impossibilidades são absolutas.
Às vezes a expressão serve apenas para encurtar uma discussão; considerar alternativas concretas (compromissos, fases, trade-offs) pode ser mais útil.
Em contextos técnicos, o motivo da impossibilidade deve ser explicitado — dizer apenas que algo é impossível pode ocultar soluções viáveis.