Quem tem Teresa em casa, não precisa de cão.

Se há alguém em casa que vigia ou guarda, não é necessário ter um cão para protecção ou vigilância.

Versão neutra

Quem tem alguém atento em casa não precisa de cão.

O que quer dizer exactamente este provérbio?
Significa que a presença de uma pessoa vigilante ou atenta em casa dispensa a necessidade de um cão para vigiar ou proteger. Pode ser usado literalmente ou de forma irónica.
É ofensivo dizer isto sobre alguém chamado Teresa?
Depende do contexto. Usado jocosa ou hipoteticamente, costuma ter intenção leve; contudo, atribuir um papel estereotipado a uma pessoa real pode ser considerado impróprio ou ofensivo.
De onde vem o nome 'Teresa' no provérbio?
Não há fonte documentada clara. O nome funciona como exemplo representativo de uma pessoa conhecida por vigiar, proteger ou comentar o que acontece — pode variar regionalmente.

Usa‑se de forma figurada para dizer que a presença de uma pessoa atenta dispensa outros meios de protecção ou vigilância.
Frequentemente empregue com tom jocoso ou irónico; pode referir tanto protecção efectiva como curiosidade/fofoca.
Evitar uso em contextos formais ou profissionais sem clarificar, pois identifica uma pessoa com um papel ou estereótipo.
O nome próprio (Teresa) funciona aqui como exemplar genérico; noutras regiões pode aparecer outro nome.

Não te preocupes com a loja; com a vizinha Teresa a olhar pela rua, parece que ninguém entra sem que ela diga — quem tem Teresa em casa, não precisa de cão.
A avó vigia a porta dia e noite; com ela ali, quem precisa de alarme? Quem tem alguém atento em casa não precisa de cão.

Um cão pode oferecer protecção física e dissuasão que a vigilância humana não substitui completamente.
Depender de uma pessoa para vigilância pode pôr essa pessoa em risco ou sobrecarregá‑la.
A expressão pode minimizar a necessidade de medidas de segurança formais (sistemas de alarme, fechaduras adequadas).